Polinomlar Konu Anlatım - Çözümlü Örnekler

**Kemalim** · 02-12-2007, 08:49 PM

P O L İ N O M

Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar:

a0 a1 a2 ....an-1 an  R ve n  N olmak üzere P(x) = an xn + an-1 xn-1 + .... + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir.

1. an xn an-1 xn-1 .... ak xk ..... ayx a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.
2. an an-1 .... ak .... ay a0 reel sayılarına polinomun terimlerinin katsayıları denir.
3. P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir.
4. Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir.
5. P(x) polinomu terimlerin azalan derecelerine göre
P(x) = anxn + an-1xn-1 + .... + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + .... + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır.
6. Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R[x] ile gösterilir.

Örnek:
P(x) = 2x5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n  N kaç olmalıdır?

Çözüm:
5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır.
3’ün bölenleri ise n = 1 n = 3 n = -1 n = -3 Ayrıca n-2  0 den n  2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre P(x) polinomu
P(x) = 2x5-3/3 + x3-2 + 4
P(x) = 2x4 + x + 4 dür.

ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM

P(x y) = x3y2 – 2x4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.

Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür.
der P(x y) = der P(x) + der P(y) dir.

Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır.
Der P(x y) = 4 + 3 = 7 dir.

Örnek
P(x y) = 2x2y4 – 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm:
2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6
-3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8
x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5
-y5 teriminin derecesi 5
Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x y) polinomunun derecesidir. O halde der P(x y) = 8 dir.

Örnek
P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 ise
P(2)= ? P(0) = ? P(1) = ?

Çözüm:
P(2) = 23 – 3.22 + 4.2 – 2
= 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur.
P(0) = 03 – 3.02 + 4.0 – 2 = - 2 bulunur.
P(1) = 13 – 3.12 + 4.1 – 2
= 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur.

SIFIR POLİNOMU

P(X) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 polinomunda
an = an-1 = ... = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + ... + 0x2 + 0x + 0 polinomuna sıfır polinomu denir.

Sıfır polinomu 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

Örnek
P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m n ve t reel sayılarını belirtelim.

Çözüm
P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;
m + 3 = 0 n – 5 = 0 t = 0 ;
m = -3 n = 5 t = 0 olmalıdır.

SABİT POLİNOM

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 polinomunda an = an-1 = ... = a1 = 0 ve a0  0 ise; P(x) polinomuna sabit polinom denir.

0xn + 0xn-1 + ... + 0x + a0 sabit polinomu a0 ile gösterilir.
x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu a0x0 biçiminde yazılabilir. Buna göre sabit polinomun derecesi 0 dır.

Örnek P(x) = (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için a ve b sayılarını belirtelim.

Çözüm
P(x) = A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre a = 4 ve b = 0 dır.

İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ

Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma eşit polinomlar denir.

n. dereceden
A(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 ve
B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ... + b2x2 + b1x + b0 polinomları için;
A(x) = B(x)  an = bn an-1 = bn-1 ... a2 = b2 a1 a0 = b0 dır.

Örnek
A(x) = 5x3 + (a + 1x2 + d
B(x) = (b - 1)x3 – 3x2 – (2c – 3) x + polinomları veriliyor. A(x) = B(x) olması için; a b c ve d yi bulalım.

Çözüm
A(x) = 5x3 + (a + 1)x2 + d = 5x3 + (a + 1)x2 + 0x + d
B(x) = (b – 1)x3 - 3x2 – (2c – 3)x + olduğundan;
A(x) = B(x)  5 = b – 1 a + 1 = -3 0 = -(2c – 3) d =
b = 6 a = -4 c = d = dir.

POLİNOM FONKSİYONLARI

P : R  R
x  P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.

P : R  R
x  P(x) = 5x3 + 2x2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur.

Örnek
P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.

Çözüm
P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1
= x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2
P(x-1) = x2 olarak bulunur.

II: Yol:
Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.

Örnek
P(x) polinomu için
P(x+2) = x3 – 2x2 + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.

Çözüm
P(x+2) = x3 - 2x2 + 4 eşitliğinde
H = x + 2  h –2 = x’i yerine yazalım.
P(h – 2 + 2) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(h) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur.

POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazılırsa
P(1) = an + an-1 + ... + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur.
P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur.

Örnek
P(x) = 2x4 + 5x3 – 3x2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz.

Çözüm
P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım.
P(1) = 2.14 + 5.13 – 3.12 + 1-1
= 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4 bulunur.

POLINOMLARDA İŞLEMLER

Polinomlarda Toplama İşlemi

A(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0
B(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0
Polinomları verilsin bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir.
A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0

Örnek
P(x) = x3 + 2x2 – 3x + 1 Q(x) = 3x2 + 3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz.

Çözüm
P(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + 3) x + 1 + 4
= x3 + 5x2 + (3-3) x + 5 dir.

Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır.

1. Polinomlar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
2. Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.
3. Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
4. Sıfır polinomu polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır.
5. Her polinomun toplama işlemine göre tersi vardır.

İki Polinomun Farkı

P(x) ve Q(x) polinomları için P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir.
P(x) – Q(x) polinomuna P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir.

Örnek
A(x) = 5x4 + x3 – 3x2 + x + 2 ve

B(x) = - 5x4 + x3 + 2x2 + polinomları için A(x) – B(x) farkını bulalım.

Çözüm
B(x) = -5x4 + x3 + 2x2 + ise -B(x) = 5x4 - x3 – 2x2 - dir.
A(x) – B(x) = A(x) + (-B(x))
= (5x4 + x3 – 3x2 + x + 2) + (5x4 - x3 –2x2 - )
= (5 + 5)x4 + ( - )x3 + (-3 –2)x2 + x + (2 - )
= 10x4 – x3 – 5x2 + x - olur.
Bu örnekte görüldüğü gibi iki polinomun farkı da bir polinomdur.
Her A(x) ve B(x) polinomları için A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır.

Polinomlarda Çarpma İşlemi

A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur.
anxn ile bkxk teriminin çarpımı
anxn . bkxk = (an . bk) xn+k dir.
Yani (5x3) . (-2x4) = 5 . (-2) x3+4 = -10x7
Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
Der [A(x) . B(x) ] = der (A(x)) + der (B(x))

Örnek
A(x) = 3x4 + 1 B(x) = x2 + x
C(x) = x2 – x + 1 polinomları veriliyor.
a) A(x) . B(x)
b) B(x) . C(x) çarpımlarını bulunuz.

Çözüm
a) A(x) . B(x) = (3x4 + 1) . (x2 + x)
= 3x4 . x2 + 3x4 . x + x2 + x
= 3x6 + 3x5 + x2 + x

b) B(x) . C(x) = (x2 + x) . (x2 – x + 1)
= x2 . x2 – x2 . x + x2 . 1 + x . x2 – x . x + x . 1
= x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x + 1
= x4 + x + 1 bulunur.

Polinomlarda çarpma işleminin aşağıdaki özellikleri vardır.

1. Kapalılık (iki polinomun çarpımı yine bir polinomdur.
2. Değişme özelliği vardır.
3. Birleşme özelliği vardır.
4. Çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı P(x) = 1 sabit polinomudur.
5. Polinomlar kümesinde çarpma işlemine göre bazı polinomların tersi yoktur.
Yani P(x) = x2 polinomunun tersi 1/x2 ifadesi polinom değildir.
6. Polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
A(x) . (B(x) + C(x)) = A(x) . B(x) + A(x) . C(x)

Polinomlar Halkası

Toplama ve çarpma işleminin özelliklerinden görüldüğü gibi R[x] polinomlar kümesi;
1. (R[x]+) sistemi değişmeli gruptur.
2. R[x] kümesi çarpma işlemine göre kapalı ve çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
3. R[x] kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
O halde (R[x] + . ) sistemi bir halkadır. Buna polinomlar halkası denir.

Polinomlarda Bölme İşlemi

A(x) polinomunun B(x) polinomuna bölümü

A(x) B(x)
 T(x)

.
-___________
R(x)

Burada A(x) = B(x) . T(x) + R(x) şeklinde yazılır.
Bu bölme işlemi yapışırken aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir.

1. Polinomlar azalan kuvvetlerine göre sıralanmalıdır.
2. Bölünen polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden büyük olmalıdır.
DerB(x) < derA(x)

3. Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olmalıdır.
Der R(x) < der B(x)

4. R(x) = 0 ise A(x) polinomu B(x) polinomuna tam bölünüyor denir.
5. der A(x) = der B(x) + der T(x)

der = der A(x) – der B(x) dir.

Örnek
P(x) = x4-2x2 + x 5 polinomunu
Q(x) = x2 + 3x – 1 polinomuna bölelim.

x4 – 2x2 + x + 5 x2 + 3x – 1
_____________ = x2
x2- 3x + 8

± x4 ± 3x3 ± x2 = -3x
-__________________
-3x3 – x2 + x + 5 = 8
±3x3 ± 9x2 ±3x
-_________________
8x2 – 2x + 5
± 8x2 ± 24x ±8
-_________________
- 26x + 13

Bölüm : x2 – 3x + 8
Kalan : -26x + 13

Horner Metodu

Bölen birinci dereceden ya da birinci dereceden polinomların çarpımından oluşuyorsa bu metot uygulanabilir.

Örnek
Px3 + qx2 + nx + s polinomunu (x – a) ‘ ya bölelim.

Çözüm
1. Bölünen polinomun katsayıları x’in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
2. Bölümün derecesi bölünenin derecesinden küçük olacağı için bölümde x3’ün katsayısı 0 olur.
3. p katsayısı aşağıya aynen yazılır[Sadece kayitli kullanicilar linkleri gorebilir. Kayit icin tiklayin...]
4. a p ile çarpılır q’nun altına yazılarak toplanır. Ap + q olarak yazılır.

Bu işleme kalan bulunana kadar devam edilir.
px3 + qx2 + rx + s x – a = 0 ise x = a

Örnek
P(x) = x4 – x3 + 3x + 4 polinomunun x – 2’ye bölündüğünde bölüm ve kalanı horner metodu yardımıyla bulunuz.

Çözüm
P(x)’in katsayılarını belirleyip tabloda gösterelim. Ayrıca x –2 = 0  x = 2 ‘yi yerine yazalım.

Bölümün Katsayıları Kalan

-1 0 3 4
2 1 2 2 4 14
1 1 2 7 18

Bölümün Katsayıları Kalan

Bölüm B(x) = x3 + x2 + 2x + 7
Kalan R(x) = 18 bulunur.

Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma

Bir P(x) Polinomunun x – a ile Bölünmesinde Elde Edilen Kalan
Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilecek bölüm Q(x) ve kalan k olsun. (x – a) birinci dereceden olduğundan kalan sabit bir sayıdır. P(x) = (x – a) Q (x) + k eşitliği her x için geçerlidir. Burada x yerine a yazarsak P(a) = 0.Q(a) + k  P(a) = k bulunur.

Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilen kalan P(x) ya eşittir. O halde bir polinomun (x – a) ile bölünmesinden kalanı bulmak için (x – a = 0  x = a olur.) polinomda x yerine a değeri yazılır[Sadece kayitli kullanicilar linkleri gorebilir. Kayit icin tiklayin...]

Örnek
P(x) = x2 – 3x + 21 polinomunun (x – 2) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz.

Çözüm
X – 2 = 0  x = 2 dir. Bulacağımız kalan P(2) olacaktır. Öyleyse P(2) = 22 – 3 . 2 + 21 = 19 olur.

Bir P(x) Polinomunun ax + b ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan
Bölen birinci dereceden olduğundan kalan yine sabit olur. Bölen olarak (ax + b) polinomunu alalım. Bu durumda P(x) = (ax + b) Q (x) + k yazılır.
Ax + b = 0  x = olur. Polinomda x yerine yazılırsa P( ) = k bulunur. O halde bir P(x) polinomunun (ax + b) ile bölünmesinden kalanı bulmak için polinomda x yerine yazılır.

Örnek
P(x) = x3 – 4x + 1 polinomunun 2x – 1 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm
P ( ) = - 4. + 1 = - 2 + 1 = olur.

Bir P(x) Polinomunun x2 + a x3 + a x4 + a ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan
P(x) polinomunun x2 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x2 yerine –a yazılır.
P(x) polinomunun x3 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x3 yerine –a yazılır.
P(x) polinomunun x4 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x4 yerine –a yazılır[Sadece kayitli kullanicilar linkleri gorebilir. Kayit icin tiklayin...]

Örnek
P(x) = x4 – x3 + x2 + 7x –1 polinomunun x2 + 2 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm
İstenen kalanı bulmak için (x2 + 2 = 0  x2 = -2) polinomda x2 yerine –2 yazarız.
P(x) = x2 . x2 – x2 . x + x2 + 7x – 1 olur.
Kalan : (-2) ( -2) – (-2) . x – 2 + 7x – 1 = 4 + 2x + 7x – 3 = 9x + 1 bulunur.

Bir Polinomun (x – a) (x – b) ile Bölünmesinden Elde Edilen Bölüm ve Kalan
Bir P(x) polinomunun (x – a) . (x – b) ile bölünmesini Horner yöntemi ile yapabiliriz. Verilen P(x) polinomu önce (x – a) ile bölünür sonra elde edilen bölüm (x – b) ile bölünür.

Örnek
Bir P(x) polinomunun (x + 3) (x – 2) ile bölünmesinden kalanı bulunuz[Sadece kayitli kullanicilar linkleri gorebilir. Kayit icin tiklayin...]

Çözüm
(x + 3) (x – 2) polinomu 2. dereceden olduğuna göre kalan polinom en fazla 1. derecedendir. Kalan polinom K(x) = ax + b biçimindedir. Bölüm özdeşliği yazılırsa
P(x) = (x + 3) (x – 2) B(x) + ax + b biçiminde olur.
P(-3) = -5 ve P(2) = 4 olduğu veriliyor.
P(-3) = (-3 + 3) (-3 –2) . B (-3) –3a +b  P(-3) = -3a + b
P(2) = (2 + 3) (2 – 2) . B(2) + ‘a +b  P(2) = 2a +b olur.

-3a + b = -5
2a + b = 4
denklem sistemi çözülürse a = ve b = olur. Buradan K(x) = x + bulunur.

Örnek
Bir P(x) polinomunun x2 + 2 ile bölünmesinden kalan –2x + 6 ve P(x) polinomunun kat sayıları toplamı 7 ise bu P(x) polinomunun (x2 + 2) (x – 1) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm
Bir P(x) polinomunun kat sayıları toplamını bulmak için polinomda x yerine 1 yazılır. P(1) verilen polinomun kat sayıları toplamıdır. Burada P(1) = 7 veriliyor. Diğer taraftan kalan en fazla 2. dereceden ax2 + bx + c biçiminde olur. Bölmenin özdeşliği yazılırsa;
P(x) = (x2 + 2) (x – 1) b(x) + ax2 + bx + c olur. Polinomda
x = 1 için P(19 = (1 + 2) . (1 – 1) . B(1) + a + b + c = a + b + c = 7 ve
x2 = -2 yazılırsa -2a + bx + c = - 2x + 6 olur.
bx + c – 2a = -2x + 6  b = -2 ve c-2a = 6 olur. Ayrıca b = -2 ise a + b + c = 7 den
a – 2 + c = 7  a + c = 9 dur.
c - 2a = 6
a + c = 9
Sistemi çözülürse a = 1 c = 8 bulunur. Oyleyse K(x) = x2 – 2x + 8 olur.

**ÇaLıKuŞu** · 02-12-2007, 08:54 PM

..........yorumsuz......teşekkürler

**~~Serap~~** · 02-12-2007, 08:57 PM

bu konuyu işledik ama tşkler işime yarayabilir..

**sseeyyddaa** · 02-12-2007, 09:12 PM

bu konuyu çıkaranı ...

hiçbişi yapamıyorum yaa

bunların yüzünden matematik sınavım sonuçlandı

**√K∂я∂¶U$U™** · 02-12-2007, 09:15 PM

bir ara bu konu benim için işkenceye dönüşmüştü

**mest_44** · 22-01-2008, 07:30 PM

teşekürler

**~~Serap~~** · 22-01-2008, 08:33 PM

benim polinomlarım iyidir ya severim polinomları

**dale** · 08-10-2008, 10:21 PM

polinomlarla ilgili 20 tane çözümlü örnek lazım lınk verirmisiniz acaba

**büşra_2002** · 09-10-2008, 07:43 PM

çok sağol

**whely** · 12-11-2008, 11:30 PM

ya bn bunları biliorum bilmediklerim war sandım ama tekrar için ii saolunnn

02-12-2007, 08:49 PM	#1 (permalink)
Kemalim Kurucu Üyelik tarihi: Dec 2006 Bulunduğu yer: Kırı(m)kkale Yaş: 26 Mesajlar: 29.098 Konular: 8611 Tesekkür: 3.505 1.839 Mesajina 3.459 Tesekkür Aldi Tecrübe Puanı: 1468 Rep Puanı: 30817 : Rep Derecesi :	Polinomlar Konu Anlatım - Çözümlü Örnekler P O L İ N O M Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar: a0 a1 a2 ....an-1 an  R ve n  N olmak üzere P(x) = an xn + an-1 xn-1 + .... + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir. 1. an xn an-1 xn-1 .... ak xk ..... ayx a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir. 2. an an-1 .... ak .... ay a0 reel sayılarına polinomun terimlerinin katsayıları denir. 3. P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir. 4. Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir. 5. P(x) polinomu terimlerin azalan derecelerine göre P(x) = anxn + an-1xn-1 + .... + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre P(x) = a0 + a1x + a2x2 + .... + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır. 6. Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R[x] ile gösterilir. Örnek: P(x) = 2x5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n  N kaç olmalıdır? Çözüm: 5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır. 3’ün bölenleri ise n = 1 n = 3 n = -1 n = -3 Ayrıca n-2  0 den n  2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre P(x) polinomu P(x) = 2x5-3/3 + x3-2 + 4 P(x) = 2x4 + x + 4 dür. ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM P(x y) = x3y2 – 2x4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir. Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür. der P(x y) = der P(x) + der P(y) dir. Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır. Der P(x y) = 4 + 3 = 7 dir. Örnek P(x y) = 2x2y4 – 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır? Çözüm: 2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6 -3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8 x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5 -y5 teriminin derecesi 5 Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x y) polinomunun derecesidir. O halde der P(x y) = 8 dir. Örnek P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 ise P(2)= ? P(0) = ? P(1) = ? Çözüm: P(2) = 23 – 3.22 + 4.2 – 2 = 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur. P(0) = 03 – 3.02 + 4.0 – 2 = - 2 bulunur. P(1) = 13 – 3.12 + 4.1 – 2 = 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur. SIFIR POLİNOMU P(X) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 polinomunda an = an-1 = ... = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + ... + 0x2 + 0x + 0 polinomuna sıfır polinomu denir. Sıfır polinomu 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir. Örnek P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m n ve t reel sayılarını belirtelim. Çözüm P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için; m + 3 = 0 n – 5 = 0 t = 0 ; m = -3 n = 5 t = 0 olmalıdır. SABİT POLİNOM P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 polinomunda an = an-1 = ... = a1 = 0 ve a0  0 ise; P(x) polinomuna sabit polinom denir. 0xn + 0xn-1 + ... + 0x + a0 sabit polinomu a0 ile gösterilir. x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu a0x0 biçiminde yazılabilir. Buna göre sabit polinomun derecesi 0 dır. Örnek P(x) = (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için a ve b sayılarını belirtelim. Çözüm P(x) = A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre a = 4 ve b = 0 dır. İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma eşit polinomlar denir. n. dereceden A(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 ve B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ... + b2x2 + b1x + b0 polinomları için; A(x) = B(x)  an = bn an-1 = bn-1 ... a2 = b2 a1 a0 = b0 dır. Örnek A(x) = 5x3 + (a + 1x2 + d B(x) = (b - 1)x3 – 3x2 – (2c – 3) x + polinomları veriliyor. A(x) = B(x) olması için; a b c ve d yi bulalım. Çözüm A(x) = 5x3 + (a + 1)x2 + d = 5x3 + (a + 1)x2 + 0x + d B(x) = (b – 1)x3 - 3x2 – (2c – 3)x + olduğundan; A(x) = B(x)  5 = b – 1 a + 1 = -3 0 = -(2c – 3) d = b = 6 a = -4 c = d = dir. POLİNOM FONKSİYONLARI P : R  R x  P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir. P : R  R x  P(x) = 5x3 + 2x2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur. Örnek P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz. Çözüm P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım. P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1 = x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2 P(x-1) = x2 olarak bulunur. II: Yol: Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım. P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur. Örnek P(x) polinomu için P(x+2) = x3 – 2x2 + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz. Çözüm P(x+2) = x3 - 2x2 + 4 eşitliğinde H = x + 2  h –2 = x’i yerine yazalım. P(h – 2 + 2) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4 P(h) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4 P(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur. POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazılırsa P(1) = an + an-1 + ... + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur. P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur. Örnek P(x) = 2x4 + 5x3 – 3x2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz. Çözüm P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım. P(1) = 2.14 + 5.13 – 3.12 + 1-1 = 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4 bulunur. POLINOMLARDA İŞLEMLER Polinomlarda Toplama İşlemi A(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 B(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0 Polinomları verilsin bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir. A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0 Örnek P(x) = x3 + 2x2 – 3x + 1 Q(x) = 3x2 + 3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz. Çözüm P(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + 3) x + 1 + 4 = x3 + 5x2 + (3-3) x + 5 dir. Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır. 1. Polinomlar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır. 2. Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır. 3. Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır. 4. Sıfır polinomu polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır. 5. Her polinomun toplama işlemine göre tersi vardır. İki Polinomun Farkı P(x) ve Q(x) polinomları için P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir. P(x) – Q(x) polinomuna P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir. Örnek A(x) = 5x4 + x3 – 3x2 + x + 2 ve B(x) = - 5x4 + x3 + 2x2 + polinomları için A(x) – B(x) farkını bulalım. Çözüm B(x) = -5x4 + x3 + 2x2 + ise -B(x) = 5x4 - x3 – 2x2 - dir. A(x) – B(x) = A(x) + (-B(x)) = (5x4 + x3 – 3x2 + x + 2) + (5x4 - x3 –2x2 - ) = (5 + 5)x4 + ( - )x3 + (-3 –2)x2 + x + (2 - ) = 10x4 – x3 – 5x2 + x - olur. Bu örnekte görüldüğü gibi iki polinomun farkı da bir polinomdur. Her A(x) ve B(x) polinomları için A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır. Polinomlarda Çarpma İşlemi A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur. anxn ile bkxk teriminin çarpımı anxn . bkxk = (an . bk) xn+k dir. Yani (5x3) . (-2x4) = 5 . (-2) x3+4 = -10x7 Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz. Der [A(x) . B(x) ] = der (A(x)) + der (B(x)) Örnek A(x) = 3x4 + 1 B(x) = x2 + x C(x) = x2 – x + 1 polinomları veriliyor. a) A(x) . B(x) b) B(x) . C(x) çarpımlarını bulunuz. Çözüm a) A(x) . B(x) = (3x4 + 1) . (x2 + x) = 3x4 . x2 + 3x4 . x + x2 + x = 3x6 + 3x5 + x2 + x b) B(x) . C(x) = (x2 + x) . (x2 – x + 1) = x2 . x2 – x2 . x + x2 . 1 + x . x2 – x . x + x . 1 = x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x + 1 = x4 + x + 1 bulunur. Polinomlarda çarpma işleminin aşağıdaki özellikleri vardır. 1. Kapalılık (iki polinomun çarpımı yine bir polinomdur. 2. Değişme özelliği vardır. 3. Birleşme özelliği vardır. 4. Çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı P(x) = 1 sabit polinomudur. 5. Polinomlar kümesinde çarpma işlemine göre bazı polinomların tersi yoktur. Yani P(x) = x2 polinomunun tersi 1/x2 ifadesi polinom değildir. 6. Polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. A(x) . (B(x) + C(x)) = A(x) . B(x) + A(x) . C(x) Polinomlar Halkası Toplama ve çarpma işleminin özelliklerinden görüldüğü gibi R[x] polinomlar kümesi; 1. (R[x]+) sistemi değişmeli gruptur. 2. R[x] kümesi çarpma işlemine göre kapalı ve çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. 3. R[x] kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır. O halde (R[x] + . ) sistemi bir halkadır. Buna polinomlar halkası denir. Polinomlarda Bölme İşlemi A(x) polinomunun B(x) polinomuna bölümü A(x) B(x)  T(x)  . -___________ R(x) Burada A(x) = B(x) . T(x) + R(x) şeklinde yazılır. Bu bölme işlemi yapışırken aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir. 1. Polinomlar azalan kuvvetlerine göre sıralanmalıdır. 2. Bölünen polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden büyük olmalıdır. DerB(x) < derA(x) 3. Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olmalıdır. Der R(x) < der B(x) 4. R(x) = 0 ise A(x) polinomu B(x) polinomuna tam bölünüyor denir. 5. der A(x) = der B(x) + der T(x) der = der A(x) – der B(x) dir. Örnek P(x) = x4-2x2 + x 5 polinomunu Q(x) = x2 + 3x – 1 polinomuna bölelim. x4 – 2x2 + x + 5 x2 + 3x – 1 _____________ = x2 x2- 3x + 8 ± x4 ± 3x3 ± x2 = -3x -__________________ -3x3 – x2 + x + 5 = 8 ±3x3 ± 9x2 ±3x -_________________ 8x2 – 2x + 5 ± 8x2 ± 24x ±8 -_________________ - 26x + 13 Bölüm : x2 – 3x + 8 Kalan : -26x + 13 Horner Metodu Bölen birinci dereceden ya da birinci dereceden polinomların çarpımından oluşuyorsa bu metot uygulanabilir. Örnek Px3 + qx2 + nx + s polinomunu (x – a) ‘ ya bölelim. Çözüm 1. Bölünen polinomun katsayıları x’in azalan kuvvetlerine göre sıralanır. 2. Bölümün derecesi bölünenin derecesinden küçük olacağı için bölümde x3’ün katsayısı 0 olur. 3. p katsayısı aşağıya aynen yazılır[Sadece kayitli kullanicilar linkleri gorebilir. Kayit icin tiklayin...] 4. a p ile çarpılır q’nun altına yazılarak toplanır. Ap + q olarak yazılır. Bu işleme kalan bulunana kadar devam edilir. px3 + qx2 + rx + s x – a = 0 ise x = a Örnek P(x) = x4 – x3 + 3x + 4 polinomunun x – 2’ye bölündüğünde bölüm ve kalanı horner metodu yardımıyla bulunuz. Çözüm P(x)’in katsayılarını belirleyip tabloda gösterelim. Ayrıca x –2 = 0  x = 2 ‘yi yerine yazalım. Bölümün Katsayıları Kalan -1 0 3 4 2 1 2 2 4 14 1 1 2 7 18 Bölümün Katsayıları Kalan Bölüm B(x) = x3 + x2 + 2x + 7 Kalan R(x) = 18 bulunur. Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma Bir P(x) Polinomunun x – a ile Bölünmesinde Elde Edilen Kalan Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilecek bölüm Q(x) ve kalan k olsun. (x – a) birinci dereceden olduğundan kalan sabit bir sayıdır. P(x) = (x – a) Q (x) + k eşitliği her x için geçerlidir. Burada x yerine a yazarsak P(a) = 0.Q(a) + k  P(a) = k bulunur. Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilen kalan P(x) ya eşittir. O halde bir polinomun (x – a) ile bölünmesinden kalanı bulmak için (x – a = 0  x = a olur.) polinomda x yerine a değeri yazılır[Sadece kayitli kullanicilar linkleri gorebilir. Kayit icin tiklayin...] Örnek P(x) = x2 – 3x + 21 polinomunun (x – 2) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz. Çözüm X – 2 = 0  x = 2 dir. Bulacağımız kalan P(2) olacaktır. Öyleyse P(2) = 22 – 3 . 2 + 21 = 19 olur. Bir P(x) Polinomunun ax + b ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan Bölen birinci dereceden olduğundan kalan yine sabit olur. Bölen olarak (ax + b) polinomunu alalım. Bu durumda P(x) = (ax + b) Q (x) + k yazılır. Ax + b = 0  x = olur. Polinomda x yerine yazılırsa P( ) = k bulunur. O halde bir P(x) polinomunun (ax + b) ile bölünmesinden kalanı bulmak için polinomda x yerine yazılır. Örnek P(x) = x3 – 4x + 1 polinomunun 2x – 1 ile bölünmesinden kalanı bulunuz. Çözüm P ( ) = - 4. + 1 = - 2 + 1 = olur. Bir P(x) Polinomunun x2 + a x3 + a x4 + a ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan P(x) polinomunun x2 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x2 yerine –a yazılır. P(x) polinomunun x3 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x3 yerine –a yazılır. P(x) polinomunun x4 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x4 yerine –a yazılır[Sadece kayitli kullanicilar linkleri gorebilir. Kayit icin tiklayin...] Örnek P(x) = x4 – x3 + x2 + 7x –1 polinomunun x2 + 2 ile bölünmesinden kalanı bulunuz. Çözüm İstenen kalanı bulmak için (x2 + 2 = 0  x2 = -2) polinomda x2 yerine –2 yazarız. P(x) = x2 . x2 – x2 . x + x2 + 7x – 1 olur. Kalan : (-2) ( -2) – (-2) . x – 2 + 7x – 1 = 4 + 2x + 7x – 3 = 9x + 1 bulunur. Bir Polinomun (x – a) (x – b) ile Bölünmesinden Elde Edilen Bölüm ve Kalan Bir P(x) polinomunun (x – a) . (x – b) ile bölünmesini Horner yöntemi ile yapabiliriz. Verilen P(x) polinomu önce (x – a) ile bölünür sonra elde edilen bölüm (x – b) ile bölünür. Örnek Bir P(x) polinomunun (x + 3) (x – 2) ile bölünmesinden kalanı bulunuz[Sadece kayitli kullanicilar linkleri gorebilir. Kayit icin tiklayin...] Çözüm (x + 3) (x – 2) polinomu 2. dereceden olduğuna göre kalan polinom en fazla 1. derecedendir. Kalan polinom K(x) = ax + b biçimindedir. Bölüm özdeşliği yazılırsa P(x) = (x + 3) (x – 2) B(x) + ax + b biçiminde olur. P(-3) = -5 ve P(2) = 4 olduğu veriliyor. P(-3) = (-3 + 3) (-3 –2) . B (-3) –3a +b  P(-3) = -3a + b P(2) = (2 + 3) (2 – 2) . B(2) + ‘a +b  P(2) = 2a +b olur. -3a + b = -5 2a + b = 4 denklem sistemi çözülürse a = ve b = olur. Buradan K(x) = x + bulunur. Örnek Bir P(x) polinomunun x2 + 2 ile bölünmesinden kalan –2x + 6 ve P(x) polinomunun kat sayıları toplamı 7 ise bu P(x) polinomunun (x2 + 2) (x – 1) ile bölünmesinden kalanı bulunuz. Çözüm Bir P(x) polinomunun kat sayıları toplamını bulmak için polinomda x yerine 1 yazılır. P(1) verilen polinomun kat sayıları toplamıdır. Burada P(1) = 7 veriliyor. Diğer taraftan kalan en fazla 2. dereceden ax2 + bx + c biçiminde olur. Bölmenin özdeşliği yazılırsa; P(x) = (x2 + 2) (x – 1) b(x) + ax2 + bx + c olur. Polinomda x = 1 için P(19 = (1 + 2) . (1 – 1) . B(1) + a + b + c = a + b + c = 7 ve x2 = -2 yazılırsa -2a + bx + c = - 2x + 6 olur. bx + c – 2a = -2x + 6  b = -2 ve c-2a = 6 olur. Ayrıca b = -2 ise a + b + c = 7 den a – 2 + c = 7  a + c = 9 dur. c - 2a = 6 a + c = 9 Sistemi çözülürse a = 1 c = 8 bulunur. Oyleyse K(x) = x2 – 2x + 8 olur. __________________________________________________________ Bir Zamanlar bu toprakların tamamında huzur To view links or images in signatures your post count must be 10 or greater. You currently have 0 posts. adalet ve mutluluk vardı To view links or images in signatures your post count must be 10 or greater. You currently have 0 posts. ya şimdi... Dünya yeni bir Osmanlı'ya muhtaç ! To view links or images in signatures your post count must be 10 or greater. You currently have 0 posts.

02-12-2007, 09:12 PM	#4 (permalink)
sseeyyddaa Profesyonel Üyelik tarihi: Oct 2007 Bulunduğu yer: AnkArA Mesajlar: 5.434 Konular: 101 Tesekkür: 0 10 Mesajina 17 Tesekkür Aldi Tecrübe Puanı: 251 Rep Puanı: 1884 : Rep Derecesi :	bu konuyu çıkaranı ... hiçbişi yapamıyorum yaa bunların yüzünden matematik sınavım sonuçlandı __________________________________________________________ To view links or images in signatures your post count must be 10 or greater. You currently have 0 posts. To view links or images in signatures your post count must be 10 or greater. You currently have 0 posts.

02-12-2007, 09:15 PM	#5 (permalink)
√K∂я∂¶U$U™ Deneyimli Üyelik tarihi: Nov 2007 Bulunduğu yer: bilmiyorum valla :) Mesajlar: 633 Konular: 128 Tesekkür: 0 17 Mesajina 28 Tesekkür Aldi Tecrübe Puanı: 70 Rep Puanı: 441 : Rep Derecesi :	bir ara bu konu benim için işkenceye dönüşmüştü __________________________________________________________ ÖZEL MESAJ ATMAYIN.... To view links or images in signatures your post count must be 10 or greater. You currently have 0 posts. To view links or images in signatures your post count must be 10 or greater. You currently have 0 posts.

22-01-2008, 08:33 PM	#7 (permalink)
~~Serap~~ \| C¤ \| TürkiyéM \| C¤ \| Üyelik tarihi: Oct 2007 Bulunduğu yer: Cehennemin dibi! gelcen mi? Yaş: 17 Mesajlar: 18.063 Konular: 2001 Ruh Halim: Tesekkür: 931 489 Mesajina 977 Tesekkür Aldi Tecrübe Puanı: 909 Rep Puanı: 18368 : Rep Derecesi :	benim polinomlarım iyidir ya severim polinomları __________________________________________________________ Yüreğine uzak düşen yüreğim seni yazıyor zamana… Zaman ki sensiz bir asır To view links or images in signatures your post count must be 10 or greater. You currently have 0 posts. seninLe bir an ‘bana’… Ve ben yine... ÖzLedim` çok özLedim… GeL ömrüme ‘şans’ dediğim… To view links or images in signatures your post count must be 10 or greater. You currently have 0 posts.

Seçenekler
Yazdırılabilir şekli göster Sayfayı E-Mail olarak gönder
Stil
Normal Hybrid-Şeklinde gösterime geç Ağaç şeklinde gösterime geç

02-12-2007, 08:54 PM	#2 (permalink)
ÇaLıKuŞu Profesyonel Üyelik tarihi: Aug 2007 Bulunduğu yer: -------- Mesajlar: 11.499 Konular: 568 Ruh Halim: Tesekkür: 0 29 Mesajina 37 Tesekkür Aldi Tecrübe Puanı: 549 Rep Puanı: 8352 : Rep Derecesi :	..........yorumsuz......teşekkürler

02-12-2007, 08:57 PM	#3 (permalink)
~~Serap~~ \| C¤ \| TürkiyéM \| C¤ \| Üyelik tarihi: Oct 2007 Bulunduğu yer: Cehennemin dibi! gelcen mi? Yaş: 17 Mesajlar: 18.063 Konular: 2001 Ruh Halim: Tesekkür: 931 489 Mesajina 977 Tesekkür Aldi Tecrübe Puanı: 909 Rep Puanı: 18368 : Rep Derecesi :	bu konuyu işledik ama tşkler işime yarayabilir..

22-01-2008, 07:30 PM	#6 (permalink)
mest_44 Çaylak Üyelik tarihi: Jan 2008 Yaş: 20 Mesajlar: 1 Konular: 0 Tesekkür: 0 0 Mesajina 0 Tesekkür Aldi Tecrübe Puanı: 0 Rep Puanı: 1 : Rep Derecesi :	teşekürler

08-10-2008, 10:21 PM	#8 (permalink)
dale Çaylak Üyelik tarihi: Oct 2008 Yaş: 20 Mesajlar: 1 Konular: 0 Tesekkür: 0 0 Mesajina 0 Tesekkür Aldi Tecrübe Puanı: 0 Rep Puanı: 1 : Rep Derecesi :	polinomlarla ilgili 20 tane çözümlü örnek lazım lınk verirmisiniz acaba

09-10-2008, 07:43 PM	#9 (permalink)
büşra_2002 Çaylak Üyelik tarihi: Oct 2008 Yaş: 18 Mesajlar: 26 Konular: 17 Tesekkür: 0 7 Mesajina 14 Tesekkür Aldi Tecrübe Puanı: 0 Rep Puanı: 1 : Rep Derecesi :	çok sağol

12-11-2008, 11:30 PM	#10 (permalink)
whely Çaylak Üyelik tarihi: Nov 2008 Mesajlar: 1 Konular: 0 Tesekkür: 0 0 Mesajina 0 Tesekkür Aldi Tecrübe Puanı: 0 Rep Puanı: 1 : Rep Derecesi :	ya bn bunları biliorum bilmediklerim war sandım ama tekrar için ii saolunnn

Konuyu Toplam 6 Üye okuyor. (0 Kayıtlı üye ve 6 Misafir)

Benzer Konular
Konu	Konuyu Başlatan	Forum	Cevaplar	Son Mesaj
10.sınıf dil ve anlatım sayfa 79-130 arası cevaplar	gizem48	Bulunan Ödevler	1	24-02-2009 10:47 PM
10.sınıf Dil ve AnL. Anlatım Bozuklukları	Hü$€yiN	Bulunan Ödevler	0	02-01-2009 10:48 AM
AnLatım ve özeLLikLeri..	» HiLaL »	Türk Dili ve Edebiyatı	0	15-11-2008 03:05 PM
10. Sınıf Dil Ve Anlatım Sayfa 104 ve 208 Arasındaki Cevaplar	~~Dilara~~	Bulunan Ödevler	2	26-10-2008 02:18 PM
Anlatım Türleri.	» HiLaL »	Türk Dili ve Edebiyatı	0	27-09-2008 06:05 PM